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LLC电路DC特性修正方程探讨
阅读: 5715 |  回复: 32 楼层直达

2019/02/15 23:24:23
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boy59[版主]
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军长

QQ截图20160321155901 【有奖试用】英飞凌40W准谐振反激电源有奖试用招募

QQ截图20160321155901 【精选内容】管理员用心整理的有含金量的帖子 请速来围观


在设计LLC电路时多数会采用基波分析法(FHA),按这种方法绘制的DC特性曲线如下:

LLC的DC特性

                             1-1 基于FHADC特性曲线

而实际电路中当开关频率偏离谐振频率时这种基波分析法会产生偏差,见下图的Ti理论与实测对比。

Ti理论与实测对比

                           1-2 FHA曲线与实测点对比

这里准备采用求解时域方程的方法来获取较准确的DC特性曲线,并试图为FHA方法找出一个修正函数以简化时域方程计算。

标签 LLC
2019/02/17 17:27:43
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gxg1122
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LV9
军长
学习来了。
2019/02/17 21:10:31
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boy59[版主]
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军长

先假设电路为闭环控制既输出电压恒定再根据不同工况反推输入电压,这样可以先确定励磁电感Lm的电流。

一、Fs=Fr谐振状态:

谐振状态时励磁电感电流波形及方程表述如下:

Lm电流方程及波形 

                                     1-3 励磁电流方程及波形

谐振状态时漏感电流波形及方程表述如下:

Lr电流方程及波形 

                                                   1-4 漏感电流及波形

2019/02/17 21:29:25
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boy59[版主]
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军长

上述方程中正弦波的峰值A0是未知的,可以通过输出功率或输出电流反推出来,输出二极管电流波形为漏感电流和励磁电流之差,如下:

输出二极管电流波形 

                                             1-5 输出二极管电流波形

利用积分公式求出上述电流波形的平均值既为输出电流Io=Uo/Ro,实际计算过程是反推由输出电流Io求正弦峰值电流A0

2019/02/17 22:22:10
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boy59[版主]
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军长

在图1-5中求输出电流Io时用到了积分方程,可否利用三角函数的积分公式直接把这里的积分运算化简掉?

2019/02/18 08:03:39
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boy59[版主]
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军长

经验证幅值A0的正弦波在时间段0-t间的均值表达式为:

均值公式 

这样就可以利用用几何方法求解图1-4中的平均输出电流避免使用积分运算。

几何法求平均电流 

                            1-6 谐振状态下利用几何方法求解输出平均电流

2019/02/18 20:37:02
7
boy59[版主]
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军长

Lm=240uFLr=48uFCr=29nFVin=400VVout=200Vn=1:1:1Ro分别取100Ω、150Ω、300Ω,Saber的仿真结果和Match计算结果对比如下:

谐振电流波形对比 

                             1-7 谐振状态仿真与计算电流波形对比

谐振状态时DC增益恒等于1不需专门求解,简化积分运算后可以大大提高运算速度。 

2019/02/19 15:03:57
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boy59[版主]
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军长

对谐振电流进行积分可以得到谐振电容上的电压波形,参考上面的方法也可以进行简化处理。

谐振电容波形

                                       1-8 谐振电容电压波形

2019/02/19 17:08:42
9
boy59[版主]
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军长

二、Fs<Fr升压状态:

升压电流波形1

                                                2-1 Fs<Fr电流波形1

如上图可以先从假设篮圈中的电流是平直的来开始推导,后面再做迭代运算以逼近真实波形,或者先假设一个斜率再从后面反推出这个斜率。

这里准备尝试另外一种方法,篮圈中的曲线其实是周期为2*pi*Cr*(Lm+Lr)正弦波的一部分,如果能将这几段正弦曲线完美拼接起来(电感电流+电容电压波形),那么相关的参数就是所需的解。

2019/02/19 23:40:23
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boy59[版主]
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军长

Vin=330VVout=200VRo=142.86fs=100kHzfr=135kHz来验证曲线的组合拼接效果如下:

组合波形验证 

                                             2-2 曲线组合拼接验证

上图曲线中包含了谐振电流、励磁电流和谐振电容电压波形,通过仿真和计算对比可以证明采用正弦曲线拼接的方法是比较准确的,不过目前涉及的参数过多还未找到足够的方程来进行正向推导。

2019/02/21 12:21:12
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boy59[版主]
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军长

在推导过程遇到了不少问题(主要是运算速度的问题),还有最后一个方程有待验证,推导过程如下:

步奏1

先设置一个起点电流Im0_u和谐振电流幅值A0_u,可以绘制出在时间0.5Tr附近前的波形(两条曲线的交点不等于0.5Tr),见下图。

                                        2-3-1 时间0~0.512Tr段漏感电流与励磁电流波形

利用root工具可以求解出两条曲线的相交时间及相交电流。在前面提到为了提高运算速度特将积分运算都转换成三角函数运算,这里当root工具调用次数过多时也会影响运算速度,因而如果能将方程整理出来效果会更好。

问题1:

2019/02/21 15:11:17
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boy59[版主]
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军长

步奏2

对阴影区域积分获取输出电流函数并增加输出电流等于Uo/Ro这一约束条件。

                            2-3-2等输出电流曲线

从上图看满足输出电流恒定的曲线有很多,因而还需其它约束条件(方程)。

非积分形式的输出电流推导如下:

                                     2-3-3 输出电流原始推导公式

问题2:需要先处理好问题1的方程整理,推导出方程A0=f(Im0,Io)。

2019/02/21 16:16:20
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boy59[版主]
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军长

步奏3

设一条谐振曲线同时穿过(t1,Im1)(0.5Ts,Im0)两个点,列方程组求出其表达式及波形如下:

                               2-3-4 t1~0.5Ts时间段电流波形

当负载很重的时候,在此区间谐振电流和励磁电流会分离开需要另做分析。

2019/02/21 16:29:40
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boy59[版主]
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军长

步奏4

在之前的分析中Im0是预先设置的,这里可以利用谐振电容的波形来最终确定这个Im0。同样将积分方程转化成三角函数推导方程及波形如下:

                                              2-3-5 谐振电容波形及公式

当满足曲线Vsc_01和曲线Vsc_02t1时刻相切时即可确定预设的Im0值,从而解出整个方程组。

2019/02/21 18:33:15
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boy59[版主]
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军长

上述步奏4中曲线相切的方法作为约束条件行不通,经验证在t1时刻无论Im0取何值两条曲线都是相切的,目前仍缺少一个约束条件。

参考仿真波形中的Im0进行设置并获得如下对比曲线:

                             2-3-6 Q值不同开关频率下的波形对比

通过波形对比可知计算公式是准确的,如果能确定Im0电流那么输出/输入的DC增益也就可以确定了。

2019/02/22 14:16:05
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boy59[版主]
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军长

步奏5

根据输入、输出能量守恒来确认参数Im0,由于匝比设置为1:1所以输入电流和谐振腔电流波形一样,见下图:

                                      2-3-7 输入电流

有一点区别就输入电流只占1/2周期,因而在计算时输入电压都是按1/2Vin来的。

根据能量守恒Uo*Io=0.5*Uin*IinIinIo差个Im)推出Uin=2*Uo*Io/Iin,再参照下图的谐振电容波形,

                                 2-3-8 谐振电容“升压”值

参照上图输入电压Uin=2*Uo-U,当满足两个Uin相等时可解出参数Im0

2019/02/22 15:11:51
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boy59[版主]
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军长

对方程进行验证:

                2-4-1 fs=100kHzRo=142.86Gdc=1.201

输出200V,负载Ro=142.86,谐振频率fr=135kHz,开关频率fs=100kHz,计算出输入电压333V,直流增益1.2

                   2-4-2 fs=80kHzRo=142.86Gdc=1.583

输出200V,负载Ro=142.86,谐振频率fr=135kHz,开关频率fs=80kHz,计算出输入电压253V,直流增益1.583

上面的参数是根据Ti资料中的参数设置的,再对比一下Ti的实测值:

                              2-4-3 Ti实测增益值

100kHz80kHz处计算值同实测值几乎一样,在其它条件下用Saber仿真软件进行验证得出的结果也基本是准确的。

2019/02/23 18:48:33
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boy59[版主]
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军长

这里的方程大多是多解,而root函数只能得出单一的解(Mathcad中是否有可以求多解的功能?),如果将root函数中的定义域进行细分倒是可以解出多解来。

root的相位求解 

                                            2-5 利用分段定义域求方程多解

如上图,定义域细分的可以解出所有的解,宽定义域的只能得出最后一小段曲线(多解的情况下),这里可以编写一个程序来自动细分定义域。

2019/02/24 10:06:03
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boy59[版主]
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军长

如果能直接推导出方程的解析解最为理想,比如公式中对时间t1的求解:

 

                                        2-5-1 时间t1的求解

上图中红框中的公式如何整理成时间t1的解析解?

2019/02/24 10:06:51
20
boy59[版主]
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军长

时间t1与峰值电流A0和初始电流Im0的关系如下:

t1时间与初始电流关系图 

                           2-5-2 时间t1与峰值电流及初始电流的关系

从上图看t1的曲线接近线性从而联想到为其找出一个拟合解。

2019/02/24 10:08:11
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boy59[版主]
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军长

拟合方程 

                                      2-5-3 拟合解析解

上图红框中的公式为找出的“拟合解析解”,除轻载外曲线拟合的都很好,如果方程t1能找出解析解的话估计会跟方程t1_1的形式很接近。

2019/02/26 22:04:55
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boy59[版主]
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军长

三、Fs>Fr降压状态:

fs大于fr电流波形 

                                      3-1 fs>fr降压模式电流波形对比

 fs>fr区域可以采用与之前相似的分析方法,下面就准备逐步展开分析。

2019/02/27 08:58:35
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boy59[版主]
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军长

也绘制两个相交的正弦波如下:

两个相交的正弦波

                                         3-2 两个相交的正弦波

fs<fr升压模式不同,这里的两个正弦波是同周期的(频率同为fr),接下来就是确定交点时间t01及各种的相位和幅值。

2019/02/27 09:28:50
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boy59[版主]
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军长

降压模式励磁电流波形

                                     3-3 励磁电流波形及相关方程

fs>fr情况时励磁电流的峰值和周期(Ts)可以直接计算出来既图中的Im1_d,相移跟时间t01有关。时间t01和正弦波Ir02_d的幅值、初始电流Im0_d、开关周期及谐振周期有关……,根据图中右侧公式可以将曲线绘制出来,方程经整理后最终只有初始电流Im0_d和谐振电流峰值需要设置。

2019/02/28 17:49:00
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boy59[版主]
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LV9
军长

输出平均电流的计算经整理得到如下方程:

降压模式输出均值计算

                                          3-4 输出平均电流方程

根据Io_d=Vor/Ro可以得出谐振电流峰值表达式,再列出谐振电容电压方程如下:

谐振电容公式

                                          3-5 谐振电容电压公式及波形

最后根据输入、输出能量守恒解出整个方程组。

2019/02/28 18:26:56
28
boy59[版主]
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LV9
军长

仿真和计算对比验证如下:

200kHz仿真对比

                                     3-6 fs=200kHz仿真、计算对比

166kHz仿真对比

                              3-7 fs=166.66kHz仿真、计算对比

上面两个波形的验证也同Ti的实测结果进行了对比,仿真值和计算值比较接近,同实测值略有差异,估计是没考虑实际效率因素造成的。

2019/02/28 19:25:09
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wszdxp2004
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LV2
班长
历害了,历害了
2019/03/01 20:48:17
30
hunter4051
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LV5
营长
厉害了楼主,学习i,很系统很详细,赞
2019/03/16 01:23:19
32
尤小翠
电源币:36 | 积分:12 主题帖:37 | 回复帖:156
LV7
旅长

自己推的太厉害惹

话说感觉楼主的分析方法是在时域上列每一个子状态的微分方程组,然后应用ILr, ILm和Vcr在边界上的连续性(边界条件)以及电路的对称性(在半个的开关周期开始和结束时量的大小相等但是符号相反)求得稳态DC增益值。

在开关频率小于谐振频率的时候,一般会有两种状态,一是两个电感电流相等并且次级电流为0,这是LrLmCr一起谐振,另一种是LrCr一起谐振,这时候二次侧整流器会开通。

这两种状态联立的方程会出现一种情况,因为第一状态里ILm是sin(wt+theta)这种形式,另一个状态里ILm是线性的,于是会出现一个变量同时在sin/cos前面和里面这种情况,这个窝专门查了下,数学上叫超越方程,似乎是无法求出分析解的(表达式形式的解)。

所以感觉这种分析方法虽然可以准确预测DC增益但是由于表达式复杂+必须依赖数值求解,似乎对设计指导意义有限。感觉最好的方式还是以FHA作为一个起点然后用这种方法进行验证如果有必要进行迭代。

2019/03/16 08:30:05
33
boy59[版主]
电源币:267 | 积分:118 主题帖:55 | 回复帖:287
LV9
军长

这种分析方法是有些复杂所以一开始想找出一个拟合函数来修正FHA方程。

在开关频率小于谐振频率时还有第三种状态重载或超载(Q值大,增益小于1)这里没做讨论,单前两种状态就至少有三组数值解。定义恰当的定义域可以解决这一问题,最大的麻烦还是在无解析解的问题上,如果自动求解一个谐振点则需花费一分钟以上的时间,再自动以点绘线描绘出等Q值DC增益曲线花费时间就颇巨了(半自动求解一个点大约1秒钟)。

如果要找设计指导和验证,用仿真软件也不错,如用PSIM自动绘制DC增益曲线(参考资料:/upload/community/2019/03/16/1552694768-13840.pdf

由于受速度限制,这里的分析方法还不能随心所欲对电路做各种分析,目前仅限于对LLC电路的理解。

2019/02/27 00:38:53
23
薛定谔的哈士奇
电源币:0 | 积分:3 主题帖:1 | 回复帖:2
LV1
士兵
非常好
2019/02/28 08:21:43
26
ruohan
电源币:23 | 积分:8 主题帖:46 | 回复帖:1200
LV9
军长
不错,留着好好看看,
2019/03/07 15:10:10
31
古通88
电源币:172 | 积分:6 主题帖:3 | 回复帖:19
LV3
排长
谢版主分享,先收藏,慢慢品味
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